APPUNTI di studio di funzione semplice, ottimizzazione e discontinuità

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1) Determinazione del dominio D della funzione.

Per studiare una funzione dobbiamo innanzitutto vedere quale è il suo campo di esistenza. Per esempio:

·        se y=f(x) contiene un'espressione frazionaria dobbiamo escludere i punti in cui il denominatore si annulla;

·        se y=f(x) contiene una radice ad indice pari, dobbiamo porre la condizione che il radicando sia non negativo;

·        se y=f(x) contiene un logaritmo, il suo argomento deve essere maggiore di zero;

·        se y=f(x) contiene una funzione esponenziale del tipo g(x)^h(x) allora dobbiamo porre g(x)>0 e controllare il campo di esistenza di h(x);

·        se y=f(x) contiene espressioni del tipo tan[g(x)], dobbiamo escludere i punti in cui g(x)=π2+kπ;

·        se y=f(x) contiene espressioni del tipo arcsin[g(x)] e arccos[g(x)], deve essere −1≤g(x)≤1.

Una volta determinato il dominio si escludono le regioni di piano che non ne fanno parte.

2) Determinazione di eventuali simmetrie e periodicità.

Se la funzione è simmetrica rispetto all'asse y (funzione pari), f(x)=f(−x) o rispetto all'origine (funzione dispari), f(x)=−f(−x) basterà proseguire lo studio per x positive /x≥0) semplificando così i calcoli. Lo stesso vale per le funzioni periodiche di periodo T, che possono essere studiate in un intervallo di ampiezza T.

3) Determinazione delle intersezioni con gli assi.

Si pone x=0 per determinare l'eventuale punto di intersezione della funzione con l'asse y; si determinano invece i punti di intersezione con l'asse x ponendo y=0, ovvero f(x)=0.

4) Studio del segno della funzione.

Ponendo per convenzione f(x)>0 si trova gli intervalli di x per i quali la funzione è positiva (quando sta sopra l'asse x) e, di conseguenza per esclusione, anche quelli per i quali è negativa (quando sta sotto l'asse x).

5) Calcolo dei limiti.

Bisogna stabilire come la funzione si comporta quando si "avvicina'' agli eventuali punti di discontinuità della funzione, calcolando i limiti (qui la sezione esercizi svolti sui limiti, completa di formulari) del tipo lim_x→x0f(x). Si determinano così eventuali asintoti verticali. Inoltre bisogna stabilire come la funzione si comporta, nel caso il dominio lo richieda, quando x tende all'infinito: lim_x→∞f(x). Si determinano così eventuali asintoti orizzontali e, calcolando m=lim_x→∞f(x)/x e q=lim_x→∞[f(x)−mx] eventuali asintoti obliqui del tipo y=mx+q.

6) Determinazione dei punti di massimo, minimo, e flesso e studio del segno delle derivate.

Si calcola la derivata prima f′(x). Si studia il segno della derivata risolvendo la disequazione f′(x)≥0. Negli intervalli in cui la derivata è positiva la funzione f(x) è crescente, negli intervalli in cui la derivata è negativa la funzione f(x) è decrescente; nei punti in cui la derivata si annulla abbiamo quindi per la nostra f(x) dei punti di massimo, minimo, o flesso a tangente orizzontale.

Successivamente si calcola la derivata seconda f′′(x). Se ne studia il segno risolvendo la disequazione f′′(x)≥0. Negli intervalli in cui la derivata seconda è positiva la funzione f(x) è convessa, negli intervalli in cui la derivata seconda è negativa la funzione f(x) risulta concava; nei punti in cui la derivata seconda si annulla si determinano per la nostra f(x) gli eventuali punti di flesso a tangente obliqua.

I problemi di ottimizzazione consistono nella ricerca di punti stazionari. Questo genere di analisi è spesso utilizzata nelle discipline scientifiche e ingegneristiche per ottenere i parametri utili per raggiungere il massimo rendimento. In questo caso generale di ricerca di massimi, minimi o punti di sella in un intero insieme numerico, parliamo di ottimizzazione libera. Il sistema da analizzare può anche essere soggetto a vincoli geometrici, fisici o semplicemente matematici: in tal caso si parla di ottimizzazione vincolata.

Una funzione f(x) presenta una discontinuità di prima specie in x=x₀ se esistono finiti lim_x→x-0f(x)=L e lim_x→x+0f(x)=L' in cui però L≠L'. (Nel grafico la funzione farà un "salto" in x=x₀)

Una funzione f(x) presenta una discontinuità di seconda specie in x=x₀ se uno dei due limiti (o entrambi) laterali di x₀ tende a infinito o non esiste. (Nel grafico, solitamente, la funzione presenta un asintoto di equazione x=x₀)

Una funzione f(x) presenta una discontinuità di terza specie in x=x₀ se esistono finiti lim_x→x-0f(x)=L e lim_x→x+0f(x)=L, ma

·        o f(x) non è definita in x₀ (quindi non esiste f(x₀))

·        o esiste f(x₀) ma f(x₀)≠L (f è prolungabile con continuità in x₀ (ponendo f(x₀)=L), piuttosto che dire che ha una discontinuità eliminabile in x₀)